全等和相似
全等
在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们完全重合，那么这两个图形叫做全等图形，简称全等形 (Congruent figures)。
Note
数学中，我们研究的主要为全等三角形。
若 \(\triangle ABC\) 全等于 \(\triangle A'B'C'\)，则写作 \(\triangle ABC ≌ \triangle A'B'C'\)。
Warning
写全等时，应当「点对点」。例如 \(\triangle ABC ≌ \triangle A'B'C'\) 不能写成 \(\triangle ABC ≌ \triangle A'C'B'\)
全等三角形的性质
- 全等三角形对应边相等；
- 全等三角形对应角相等。
全等三角形的判定公理
- 三边对应相等的两个三角形全等(简称 \(\text{SSS}\) 或 “边边边”)；
- 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称 \(\text{SAS}\) 或 “边角边”)；
- 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称 \(\text{ASA}\) 或 “角边角”)；
- 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简称 \(\text{AAS}\) 或 “角角边”)；
- 直角三角形全等条件是斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称 \(\text{HL}\) 或 “斜边，直角边”)。
Warning
全等三角形判定注意事项：
- 注意 \(\text{SAS}\) 中，两边的夹角对应相等，不能是别的角；若缺少这个条件则不能判定。
- 注意分清 \(\text{HL}\) 和 \(\text{SAS}\) 的区别。
Tips
有些时候，对应边难以凭肉眼「对应」。可以通过角的夹边，或在图中标注相等线段来辨识。
相似
相似 (similar) 可以理解为两个图形形状相同，但大小不同，可以通过缩放得到。
Note
这不是标准定义，但这样理解就够了。
若 \(\triangle ABC\) 相似于 \(\triangle A'B'C'\)，则写作 \(\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'\)。
相似三角形的判定定理
- 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，（简叙为：两角对应相等两三角形相似)。
- 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
- 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
- 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
- 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
1 ~ 3 条教科书上要求掌握，4 ~ 5 可以略作了解。
Note
三角形相似判定最常用判定定理 1。
相似三角形性质定理
- 对应角相等；
- 对应边成比例；
- 相似三角形的周长比等于相似比；
- 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
Note
相似比，就是对应边的比；成比例，就是各边和对应边之比分别相等。
Note
\(\triangle ABC \backsim \triangle ADE\), 其相似比可以写为 \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\)。其实也可以得出 \(\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\)。
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