基本不等式
二维基本不等式
完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2;\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
这个公式我们烂熟于心。
所以我们可以得到 \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\ge 0\)。
移项，得 \(2ab\leq a^2+b^2\)。
这是一个重要的不等式，它有一个变形：\(ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}\)。
特别的，我们用 \(\sqrt a, \sqrt b\) 分别替换 \(a,b\)，可以得到：
\(\sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}\ (a,b\ge 0)\)，取等条件为：当且仅当 \(a=b\) 时。
这个就是基本不等式(basic inequality)。
其中 \(\sqrt {ab}\) 被称为 \(a,b\) 的几何平均值，\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\) 被称为 \(a,b\) 的算术平均值。
也就是说两个数的几何平均值不大于这两个数的算术平均值。
基本不等式
推广形式1：\(\left( \prod\limits^{n}_{j=1}a_j \right)^{\frac{1}{n}}\leq \dfrac{\sum\limits^{n}_{j=1}a_j}{n}\) 简记为
推广形式2 (均值不等式链):
\(\dfrac{1}{\sum\limits^{n}_{j=1}a_j^{-1}}\leq \left( \prod\limits^{n}_{j=1}a_j \right)^{\frac{1}{n}}\leq \dfrac{\sum\limits^{n}_{j=1}a_j}{n}\leq \sqrt{\dfrac{\sum\limits^{n}_{j=1}a_j^2}{n}}\)
加权形式:
\(q_j>0, \left( \displaystyle\prod\limits^{n}_{j=1}a_j^{q_j} \right)^{\dfrac{1}{\sum\limits q}} \leq \dfrac{\sum\limits^n_{j=1}a_jq_j}{\sum q}\)
参考资料：