等式(equality)和不等式(inequality)简介
不等关系
| 不等关系 | \(a\) 大于 \(b\) | \(a\) 小于 \(b\) | \(a\) 不大于 \(b\) | \(a\) 不小于 \(b\) | \(a\) 不等于 \(b\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 符号表示 | \(a>b\) | \(a<b\) | \(a\leq b\) | \(a \ge b\) | \(a\not = b\) |
两个实数大小关系基本事实
- \(a>b\Leftrightarrow a-b>0\)
- \(a=b\Leftrightarrow a-b=0\)
- \(a<b\Leftrightarrow a-b<0\)
等式与不等式的性质
| 等式 | 不等式 | |
|---|---|---|
| 对称性 | \(a=b \Leftrightarrow b=a\) | \(a>b \Leftrightarrow b<a\) |
| 传递性 | \(a=b,b=c \Rightarrow a=c\) | \(a>b,b>c \Rightarrow a>c\) |
| 加法 | \(a=b\Rightarrow a+c=b+c\) | \(a>b\Rightarrow a+c>b+c; \ \ \ a>b,c>d \Rightarrow a+c>b+d\) |
| 乘法 | \(a=b\Rightarrow ac=bd; a=b \operatorname{且}\ c\not = 0 \Rightarrow \dfrac{a}{c}= \dfrac{b}{c}\) | \(a>b,c>0\Rightarrow ac>bc;\ \ \ a>b,c<0\Rightarrow ac<bc; \ \ \ a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd; \ \ \ a>b>0\Rightarrow a^n>b^n \ (n\in \text{N},n\ge 2)\) |
以上概括自人教 A 版高中必修一.
拓展
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\(a>b>0\Rightarrow a^n>b^n \ (n\in \text{R},n>0)\ 或\ a^n<b^n \ (n\in \text{R},n<0)\)
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倒数原则：\(a>b>0\ 或\ b<a<0 \Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\).
Warning
在不等式变换时，不可以仿照等式性质「创造」性质，而是应该严格遵守不等式性质，切记！
原作者：da_ke
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